Question

20．已知函數(shù)f（x）=log₂[ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$]．
（1）若定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）的定義域是使對(duì)數(shù)的真數(shù)有意義x的取值范圍，故函數(shù)定義域?yàn)镽等價(jià)于真數(shù)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)取值恒大于零，由此不難列出根的判別式小于0，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，說(shuō)明對(duì)數(shù)的真數(shù)取到所有的正數(shù)，由此可得（0，+∞）包含于真數(shù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的值，由此可得根的判別大于或等于0，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍

解答 解：（1）若定義域?yàn)镽，則ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$＞0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（a-1）}^{2}-a＜0\end{array}\right.$
得0＜a＜$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．------------------------------------------------------------（6分）
（2）若函數(shù)的值域是R，
則（0，+∞）包含于真數(shù)的取值范圍，
∴a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（a-1）}^{2}-a≥0\end{array}\right.$
解得：a=0，或a≥$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$．-------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域和值域、函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題