Question

20．如圖，拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F，過拋物線上一點A（3，y）作準線l作垂線，垂直為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標準方程是（　�。�

• A． y²=$\frac{1}{2}$x
• B． y²=x
• C． y²=2x
• D． y²=4x

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的基本概念與正三角形的性質(zhì)，利用解直角三角形算出|BF|=2p，由AB⊥y軸，可得3+$\frac{p}{2}$=2p，求出p，即可求出拋物線的標準方程．

解答 解：設(shè)直線l交x軸于點C
∵AB⊥l，l⊥x軸，
∴AB∥x軸，可得∠BFC=∠ABF=60°，
Rt△BCF中，|CF|=|BF|cos60°=p，解得|BF|=2p，
由AB⊥y軸，可得3+$\frac{p}{2}$=2p，
∴p=2，
∴拋物線的標準方程是y²=4x．
故選：D．

點評 本題給出拋物線中的正三角形滿足的條件，求拋物線的標準方程，著重考查了拋物線的基本概念、正三角形的性質(zhì)與解直角三角形等知識，屬于中檔題．