Question

2．已知{a_n}為公差不為零的等差數(shù)列，其中a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，a₃+a₄=12
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，設(shè){b_n}的前n項和為S_n，求最小的正整數(shù)n，使得S_n＞$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列中項的性質(zhì)，解方程可得首項和公差，進而得到所求通項公式；
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理可得所求和，再解不等式可得n的最小值．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，a₃+a₄=12，
有$\left\{\begin{array}{l}{{{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{5}}\\{{a}_{3}+{a}_{4}=12}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+4d）}\\{2{a}_{1}+5d=12}\end{array}\right.$，
因為d≠0，所以解得a₁=1，d=2，
從而{a_n}的通項公式為a_n=2n-1，n∈N*．
（2）因為b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
所以前n項和為S_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$
=1-$\frac{1}{2n+1}$，
令1-$\frac{1}{2n+1}$＞$\frac{2016}{2017}$，解得n＞1008，
故取最小的正整數(shù)n為1009．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列中項的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．