Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$，則滿足f（f（t））=2^f（t）的t的取值范圍是{t|t=-3或t≥-$\frac{1}{3}$}．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)滿足f（f（t））=2^f（t）得出f（t）≥1，
討論t≥1時f（t）=2^t≥1，和t＜1時f（t）=$\frac{3}{4}$t+$\frac{5}{4}$≥1，
解不等式求得t的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}，x＜1}\\{{2}^{x}，x≥1}\end{array}\right.$滿足f（f（t））=2^f（t），
∴f（t）≥1，
當(dāng)t≥1時，f（t）=2^t≥1，解得t≥0，
∴t≥1；
當(dāng)t＜1時，f（t）=$\frac{3}{4}$t+$\frac{5}{4}$≥1，
解得t≥-$\frac{1}{3}$，∴-$\frac{1}{3}$≤t＜1；
又當(dāng)t=-3時，f（t）=f（-3）=$\frac{3}{4}$×（-3）+$\frac{5}{4}$=-1，
f（-1）=$\frac{3}{4}$×（-1）+$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{2}$，
2^f（-3）=2^-1=$\frac{1}{2}$，也滿足題意；
綜上，t的取值范圍是t=-3或t≥-$\frac{1}{3}$．
故答案為：{t|t=-3或t≥-$\frac{1}{3}$}．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．