Question

10．已知函數(shù)f（x）=xlnx+x（x-a）²（a∈R），若存在$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得f（x）＞xf'（x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\frac{9}{4}，+∞}）$
• B． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$
• C． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 由f（x）＞xf'（x）成立，可得[$\frac{f（x）}{x}$]′＜0，設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=lnx+（x-a）²，
則存在$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得g′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）＜0成立，a＞（x+$\frac{1}{2x}$）_min．

解答 解：由f（x）＞xf'（x）成立，可得[$\frac{f（x）}{x}$′＜0，設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=lnx+（x-a）²，
則存在$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$，使得g′（x）＜0成立，即g′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）＜0成立，即a＞x+$\frac{1}{2x}$成立．
a＞（x+$\frac{1}{2x}$）_min．又x+$\frac{1}{2x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{2x}}$=$\sqrt{2}$，∴$a＞\sqrt{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法求參數(shù)范圍，屬于中檔題．