Question

19．已知五邊形ABCDE是由直角梯形ABCD和等腰直角三角形ADE構(gòu)成，如圖所示，AB⊥AD，AE⊥DE，AB∥CD，且AB=2CD=2DE=4，將五邊形ABCDE沿著AD折起，且使平面ABCD⊥平面ADE．
（Ⅰ）若M為DE中點，邊BC上是否存在一點N，使得MN∥平面ABE？若存在，求$\frac{BN}{BC}$的值；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求四面體B-CDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點為N，AD中點為P，連接MN，NP，MP．推導出MP∥面ABE，NP∥面ABE，由此能求出邊AB上存在一點N，使得MN∥平面ABE，且$\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）推導出EP⊥AD，由四面體B-CDE的體積V_B-CDE=V_E-BCD，能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）取BC中點為N，AD中點為P，連接MN，NP，MP．
∵MP∥AE，AE⊆面ABE，MP?面ABE，
∴MP∥面ABE，同理NP∥面ABE，
又MP∩NP=P，∴MN∥面ABE，
∴邊AB上存在一點N，使得MN∥平面ABE，且$\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）∵△ADE為等腰直角三角形．
∴EP⊥AD，
又平面ABCD平面ADE，∴EP⊥平面ABCD，
∵$EP=\sqrt{2}$，${S_{△BCD}}=2\sqrt{2}$，
∴四面體B-CDE的體積V_B-CDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}×EP×{S_{△BCD}}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查幾何體的體積及直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．