Question

已知函數f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上單調，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=-

5

2

時，求函數f（x）的極小值．

Answer 1

分析：（I）先求出函數的導數，f（x）在R上單調等價于x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立，下面只要二次函數的根的判別式△≤0即可求得a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導數研究函數的極小值．先求出在函數的導數，再結合導數值為0求出極值點，最后結合函數的單調性即可求得函數f（x）的極小值．

解答：解：f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]
（Ⅰ）f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
考慮到e^x＞0恒成立且x²系數為正，
∴f（x）在R上單調等價于x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立．
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a的取值范圍是[-2，2]，（8分）
（若得a的取值范圍是（-2，2），可扣1分）
（Ⅱ）當a=-

5

2

時，f(x)=(x2-

5

2

x+2)ex，f′(x)=ex(x2-

1

2

x-

1

2

)，（10分）
令f′（x）=0，得x=-

1

2

，或x=1??，
令f′（x）＞0，得x＜-

1

2

，或x＞1??，
令f′（x）＜0，得-

1

2

＜x＜1??（12分）
x，f′（x），f（x）的變化情況如下表
所以，函數f（x）的極小值為f（1）=

1

2

e（14分）

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的極值等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．