分析 (Ⅰ)利用矩形的周長公式計算可知2Si=xi+1xi(i=1,2,…,n),進而令i=1計算即得結論;
(Ⅱ)通過(I),分別令i=2、i=3,計算可知x2=√2−1、x3=√3−√2,進而由此猜想xn=√n−√n−1(n∈N+),然后利用數(shù)學歸納法證明即可.
解答 (Ⅰ)解:由題意知,Ci=2(xi+f(xi))=2(xi+1xi)(i=1,2,…,n),
又因為Ci=4Si(i=1,2,…,n),
所以2Si=xi+1xi(i=1,2,…,n).---------------------------------------(1分)
令i=1,得2S1=x1+1x1,
又S1=x1,且x1>0,故x1=1.-------------------------------------(2分)
(Ⅱ)解:令i=2,得2S2=x2+1x2,
又S2=x1+x2,x1=1,且x2>0,故x2=√2−1;------------------------------------(3分)
令i=3,得2S3=x3+1x3,
又S3=x1+x2+x3,x1=1,x2=√2−1,且x3>0,故x3=√3−√2;----------(4分)
由此猜想,xn=√n−√n−1(n∈N+).----------------------------(5分)
下面用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,x1=1,命題成立;-----------------------------------(6分)
②假設n=k時命題成立,即xk=√k−√k−1(k∈N+),-----------------------------(7分)
則當n=k+1時,2Sk+1=xk+1+1xk+1,又Sk+1=Sk+xk+1,2Sk=xk+1xk,
故(xk+1xk)+2xk+1=xk+1+1xk+1,
由xk=√k−√k−1,得x2k+1+2√kxk+1−1=0,--------------------------------------(8分)
所以xk+1=√k+1−√k(−√k+1−√k舍去).-------------------------------------------(9分)
即當n=k+1時命題成立.
綜上所述,對任意自然數(shù)n,都有xn=√n−√n−1成立.--------------------------------(10分)
點評 本題考查數(shù)學歸納法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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