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1.已知函數(shù)f(x)=1x(x>0),對(duì)于正數(shù)x1,x2,…,xn(n∈N+),記Sn=x1+x2+…+xn,如圖,由點(diǎn)(0,0),(xi,0),(xi,f(xi)),(0,f(xi))構(gòu)成的矩形的周長(zhǎng)為Ci(i=1,2,…,n),都滿足Ci=4Si(i=1,2,…,n).
(Ⅰ)求x1;
(Ⅱ)猜想xn的表達(dá)式(用n表示),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

分析 (Ⅰ)利用矩形的周長(zhǎng)公式計(jì)算可知2Si=xi+1xi(i=1,2,…,n),進(jìn)而令i=1計(jì)算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I),分別令i=2、i=3,計(jì)算可知x2=21、x3=32,進(jìn)而由此猜想xn=nn1(n∈N+),然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

解答 (Ⅰ)解:由題意知,Ci=2xi+fxi=2xi+1xi(i=1,2,…,n),
又因?yàn)镃i=4Si(i=1,2,…,n),
所以2Si=xi+1xi(i=1,2,…,n).---------------------------------------(1分)
令i=1,得2S1=x1+1x1,
又S1=x1,且x1>0,故x1=1.-------------------------------------(2分)
(Ⅱ)解:令i=2,得2S2=x2+1x2,
又S2=x1+x2,x1=1,且x2>0,故x2=21;------------------------------------(3分)
令i=3,得2S3=x3+1x3,
又S3=x1+x2+x3,x1=1,x2=21,且x3>0,故x3=32;----------(4分)
由此猜想,xn=nn1(n∈N+).----------------------------(5分)
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時(shí),x1=1,命題成立;-----------------------------------(6分)
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即xk=kk1(k∈N+),-----------------------------(7分)
則當(dāng)n=k+1時(shí),2Sk+1=xk+1+1xk+1,又Sk+1=Sk+xk+12Sk=xk+1xk,
xk+1xk+2xk+1=xk+1+1xk+1,
xk=kk1,得x2k+1+2kxk+11=0,--------------------------------------(8分)
所以xk+1=k+1kk+1k舍去).-------------------------------------------(9分)
即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立.
綜上所述,對(duì)任意自然數(shù)n,都有xn=nn1成立.--------------------------------(10分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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