Question

12．[A]已知數(shù)列{a_n}滿足a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想a_n的表達(dá)式（不必證明）；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由a₄=20，a_n+1=2a_n-n+1，可求得a₁，a₂，a₃的值，從而可猜想{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式．
（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟：先證明n=1時(shí)命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，從而得出命題a_n=2ⁿ+n對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n-n+1，
∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
當(dāng)n=3時(shí)，a₄=2a₃-3+1，解得a₃=11，
當(dāng)n=2時(shí)，a₃=2a₂-2+1，解得a₂=6，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=2a₁-1+1，解得a₁=3，
可以猜想a_n=2ⁿ+n，
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n=2ⁿ+n，（n∈N⁺）．
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，成立，
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a_k=2^k+k，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=2a_k-k+1=2×2^k+2k-k+1=2^k+1+k+1，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立，
由①②可知，猜想成立，即a_n=2ⁿ+n．（n∈N⁺）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理證明的能力，假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，去證明則當(dāng)n=k+1時(shí)，用上歸納假設(shè)是關(guān)鍵，屬于中檔題．