Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-1|．
（1）求f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積；
（2）設(shè)$g（x）=\frac{{{x^2}-ax+4}}{x}$，若對(duì)?s，t∈（0，+∞）恒有g(shù)（s）≥f（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（$\frac{1}{3}$，0），B（3，0），C（1，2），即可求f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積；
（2）求出g（s）有最小值4-a，f（t）有最大值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|-2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x-3，x＜-1}\\{3x-1，-1≤x≤1}\\{-x+3，x＞1}\end{array}\right.$
∴f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（$\frac{1}{3}$，0），B（3，0），C（1，2），
∴f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積S=$\frac{1}{2}×2×\frac{8}{3}$=$\frac{8}{3}$．…（5分）
（2）∵?s∈（0，+∞）恒有g(shù)（s）=s+$\frac{4}{s}$-a≥4-a，
∴當(dāng)且僅當(dāng)s=2時(shí)，g（s）有最小值4-a．
又由（Ⅰ）可知，對(duì)?t∈（0，+∞），f（t）≤f（1）=2．
?s，t∈（0，+∞）恒有g(shù)（s）≥f（t）成立，
等價(jià)于4-a≥2，即a≤2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查三角形面積的計(jì)算，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．