Question

7．為了弘揚(yáng)民族文化，某校舉行了“我愛國(guó)學(xué)，傳誦經(jīng)典”考試，并從中隨機(jī)抽取了100名考生的成績(jī)（得分均為整數(shù)，滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)制表，其中成績(jī)不低于80分的考生被評(píng)為優(yōu)秀生，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，用頻率估計(jì)概率，回答下列問(wèn)題．

分組	頻數(shù)	頻率
[50，60）	5	0.05
[60，70）	a	0.20
[70，80）	35	b
[80，90）	25	0.25
[90，100）	15	0.15
合計(jì)	100	1.00

（ I）求a，b的值及隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率；
（Ⅱ）按頻率分布表中的成績(jī)分組，采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛國(guó)學(xué)”宣傳活動(dòng)，求其中優(yōu)秀生的人數(shù)；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問(wèn)抽取的優(yōu)秀生中指派2名學(xué)生擔(dān)任負(fù)責(zé)人，求至少一人的成績(jī)?cè)赱90，100]的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布表得$\frac{5}{0.05}=\frac{a}{0.20}=\frac{35}$，由此能求出a，b的值及隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率．
（Ⅱ）按成績(jī)分層抽樣抽取20人時(shí)，由隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率能求出優(yōu)秀生應(yīng)抽取的人數(shù)．
（Ⅲ）8人中，成績(jī)?cè)赱80，90）的有5人，成績(jī)?cè)赱90，100]的有3人，從8個(gè)人中選2個(gè)人，結(jié)果共有n=${C}_{8}^{2}$=28種選法，其中至少有一人成績(jī)?cè)赱90，100]的情況有兩種：可能有1人成績(jī)?cè)赱90，100]，也可能有2人成績(jī)?cè)赱90，100]，由此能示出至少一人的成績(jī)?cè)赱90，100]的概率．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布表得：
$\frac{5}{0.05}=\frac{a}{0.20}=\frac{35}$，
解得a=20，b=0.35，
由頻率分布表可得隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率為：
P=0.25+0.15=0.4．
（Ⅱ）按成績(jī)分層抽樣抽取20人時(shí)，
優(yōu)秀生應(yīng)抽取20×0.4=8人．
（Ⅲ）8人中，成績(jī)?cè)赱80，90）的有：20×0.25=5人，成績(jī)?cè)赱90，100]的有：20×0.15=3人，
從8個(gè)人中選2個(gè)人，結(jié)果共有n=${C}_{8}^{2}$=28種選法，
其中至少有一人成績(jī)?cè)赱90，100]的情況有兩種：
可能有1人成績(jī)?cè)赱90，100]，也可能有2人成績(jī)?cè)赱90，100]，
所以共有5×3+3=18種，
∴至少一人的成績(jī)?cè)赱90，100]的概率$P=\frac{18}{28}=\frac{9}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．