Question

【題目】已知點(diǎn)為拋物線： 的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一定點(diǎn)。

（1）直線過點(diǎn)交拋物線于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交拋物線于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，試證明直線的斜率為定值，并求出該定值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）1.

【解析】試題分析：（1）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組： ，消去并整理得： ，設(shè)，則故解得，寫出直線的方程（2）過點(diǎn)作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別交拋物線于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.令，聯(lián)立方程組： ，消去并整理得： 設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，故，用-t去換點(diǎn)P坐標(biāo)中的t可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，計(jì)算直線的斜率即可.

試題解析：

（1）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組： ，消去并整理得：

設(shè)，則

故，解得： .

故直線的方程為，或.

（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.令，

聯(lián)立方程組： ，消去并整理得：

設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，故，

從而點(diǎn)的坐標(biāo)為，用-t去換點(diǎn)P坐標(biāo)中的t可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為