Question

設橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），橢圓上一點到兩焦點的距離和為4，過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，AB=2．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上的點，且直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，是否存在動點P（x₁，y₁），若

OP

=

OM

+2

ON

，有x₁²+2y₁²為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得2a=4，

c2

4

+

1

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）存在這樣的點P（x₁，y₁）．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，結(jié)合已知條件能推導出存在這樣的點P（x₀，y₀）．

解答： 解：（1）因為2a=4，所以，a=2，（2分）
∵過焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，AB=2．
∴由橢圓的對稱性知，橢圓過點（c，1），即

c2

4

+

1

b2

=1，（4分）
c²=4-b²，解得b²=2，
橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（7分）
（2）存在這樣的點P（x₁，y₁）．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則k_OM•k_ON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，化簡為x₁x₂+2y₁y₂=0，（9分）
∵M，N是橢圓C上的點，∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
由

OP

=

OM

+2

ON

，得

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，（11分）
∵x02+2y02=（x₁+2x₂）²+（y₁+2y₂）²
=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=4+4×4+0
=20，
即存在這樣的點P（x₀，y₀）．（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．