Question

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標(biāo)，橢圓的離心率，然后求解雙曲線的離心率，求出雙曲線的幾何量，得到雙曲線方程．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）和橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦點，
可得雙曲線的半焦距為：c=$\sqrt{7}$，
橢圓的離心率為：$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
則雙曲線的離心率為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$，可得a=2，則b=$\sqrt{3}$，
所求的雙曲線方程為：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計算能力．