Question

3．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)$（{1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為1的直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)設(shè)出橢圓方程，利用點(diǎn)在橢圓上，求出b，即可得到橢圓方程．
（2）設(shè)出P，直線l的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)出AB坐標(biāo)，求出線段的長(zhǎng)度即可．

解答 解：（1）因?yàn)镃的焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，
故可設(shè)橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（2＞b＞0），
因?yàn)辄c(diǎn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在橢圓C上，所以$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{{4b}^{2}}$=1，
解得b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由題意直線l的斜率是1，過(guò)（$\sqrt{3}$，0），
故直線l的方程是：y=x-$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0，
故x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$，
故|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，定值問(wèn)題的化簡(jiǎn)求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．