Question

15．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線x²=2py（p＞0）上的點M（m，1）到焦點F的距離為2，
（1）求拋物線的方程；
（2）如圖，點E是拋物線上異于原點的點，拋物線在點E處的切線與x軸相交于點P，直線PF與拋物線相交于A，B兩點，求△EAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線x²=2py（p＞0）的準線方程為$y=-\frac{p}{2}$，由拋物線定義，得到p=2，即可求解拋物線的方程．
（2）求出函數(shù)的$y'=\frac{1}{2}x$．設點$E（t，\;\frac{{\;{t^2}}}{4}），\;\;t≠0$，得到拋物線在點E處的切線方程為$y-\frac{{\;{t^2}}}{4}=\frac{1}{2}t（x-t）$．求出$P（\frac{t}{2}，\;0）$．推出直線PF的方程，點$E（t，\;\frac{{\;{t^2}}}{4}）$到直線PF的距離，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x^2}{4}\\ 2x+ty-t=0\end{array}\right.$求出AB，表示出△EAB的面積，構造函數(shù)，通過函數(shù)的導數(shù)利用單調性求解最值即可．

解答 解：（1）拋物線x²=2py（p＞0）的準線方程為$y=-\frac{p}{2}$，
因為M（m，1），由拋物線定義，知$MF=1+\frac{p}{2}$，
所以$1+\frac{p}{2}=2$，即p=2，
所以拋物線的方程為x²=4y．…3分
（2）因為$y=\frac{1}{4}{x^2}$，所以$y'=\frac{1}{2}x$．
設點$E（t，\;\frac{{\;{t^2}}}{4}），\;\;t≠0$，則拋物線在點E處的切線方程為$y-\frac{{\;{t^2}}}{4}=\frac{1}{2}t（x-t）$．
令y=0，則$x=\frac{t}{2}$，即點$P（\frac{t}{2}，\;0）$．
因為$P（\frac{t}{2}，\;0）$，F(xiàn)（0，1），所以直線PF的方程為$y=-\frac{2}{t}（x-\frac{t}{2}）$，即2x+ty-t=0．
則點$E（t，\;\frac{{\;{t^2}}}{4}）$到直線PF的距離為$d=\frac{{|{2t+\frac{t^3}{4}-t}|}}{{\sqrt{4+{t^2}}}}=\frac{{|t|\sqrt{4+{t^2}}}}{4}$．…5分
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x^2}{4}\\ 2x+ty-t=0\end{array}\right.$消元，得t²y²-（2t²+16）y+t²=0．
因為△=（2t²+16）²-4t⁴=64（t²+4）＞0，
所以${y_1}=\frac{{2{t^2}+16+\sqrt{64（{t^2}+4）}}}{{2{t^2}}}$，${y_2}=\frac{{2{t^2}+16-\sqrt{64（{t^2}+4）}}}{{2{t^2}}}$，
所以$AB={y_1}+1+{y_2}+1={y_1}+{y_2}+2=\frac{{2{t^2}+16}}{t^2}+2=\frac{{4（{t^2}+4）}}{t^2}$．  …7分
所以△EAB的面積為$S=\frac{1}{2}×\frac{{4（{t^2}+4）}}{t^2}×\frac{{|t|\sqrt{4+{t^2}}}}{4}=\frac{1}{2}×\frac{{{{（{t^2}+4）}^{\frac{3}{2}}}}}{|t|}$．
不妨設$g（x）=\frac{{{{（{x^2}+4）}^{\frac{3}{2}}}}}{x}$（x＞0），則$g'（x）=\frac{{{{（{x^2}+4）}^{\frac{1}{2}}}}}{x^2}（2{x^2}-4）$．
因為$x∈（0，\;\sqrt{2}）$時，g'（x）＜0，所以g（x）在$（0，\;\sqrt{2}）$上單調遞減；$x∈（\sqrt{2}，\;+∞）$上，g'（x）＞0，所以g（x）在$（\sqrt{2}，\;+∞）$上單調遞增．
所以當$x=\sqrt{2}$時，$g{（x）_{min}}=\frac{{{{（2+4）}^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt{2}}}=6\sqrt{3}$．
所以△EAB的面積的最小值為$3\sqrt{3}$．…10分．

點評 本題考查拋物線與直線的位置關系的應用，函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的最值的求法，考查轉化思想以及構造法的應用，難度比較大．