Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）不等式等價于，由（Ⅰ） ①， 所以原不等式等價于，構(gòu)造求最值即可.

試題解析:（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，

則，解得，所以．此時，，由得，得 ，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（Ⅱ）不等式等價于，由（Ⅰ）在上的最大值為，

所以 ①，

令，所以，，所以，

當(dāng)時，，所以在 上單調(diào)遞增，所以，所以在 上單調(diào)遞增，所以，即，

因為，所以，

所以，時，．

點(diǎn)晴：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，及不等式的證明問題.要求單調(diào)性，求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào)，只需要證明其導(dǎo)函數(shù)大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.