Question

8．若二項式${（{a{x^2}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}（{a＞0}）$展開式中的含x²的項的系數(shù)為60．則$\int{\begin{array}{l}a\\{-1}\end{array}}（{{x^2}-2x}）dx$=0．

Answer 1

分析 根據(jù)二項式展開式的通項寫出展開式中x²項的系數(shù)，列方程求出a的值，再求定積分的值．

解答 解：設${（{a{x^2}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}$展開式的通項為：
${T_{k+1}}=C_6^k{（{a{x^2}}）^{6-k}}{（{-{x^{-\frac{1}{2}}}}）^k}=C_6^k{a^{6-k}}{（{-1}）^k}{x^{12-\frac{5}{2}k}}$，
令$12-\frac{5}{2}k=2$，求得k=4；
于是展開式中x²項的系數(shù)為$C_6^k{a^2}=15{a^2}$，
則15a²=60，
注意到a＞0，求得a=2；
所以${∫}_{-1}^{a}$（x²-2x）dx=${∫}_{-1}^{2}$（x²-2x）dx
=（$\frac{1}{3}$x³-x²）${|}_{-1}^{2}$
=（$\frac{1}{3}$×2³-2²）-[$\frac{1}{3}$×（-1）³-（-1）²]
=-$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$
=0．
故答案為：0．

點評 本題考查了二項式展開式的應用問題，也考查了定積分的計算問題，是基礎題目．