Question

設(shè)有半徑為3 km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中心出發(fā)，A向東而B向北前進，A出村后不久，改變前進方向，斜著沿切于村落周界的方向前進，后來恰好與B相遇.設(shè)A、B兩人的速度都一定，其比為3∶1，問A、B兩人在何處相遇？

Answer 1

解析：注意到村落為圓形，且A、B兩人同時從村落中心出發(fā)分別沿東、北方向運動，于是可設(shè)想以村落的中心為原點，以開始時A、B的前進方向為x,y軸，建立直角坐標系，這就為建立解析幾何模型創(chuàng)造了條件.

(1)設(shè)元.由題意可設(shè)A、B兩人的速度分別為3vkm/h、vkm/h，再設(shè)A出發(fā)后x₀h，在點P處改變方向，又經(jīng)y₀h，在點Q處與B相遇，則P、Q兩點的坐標分別為(3vx₀,0)，(0，v(x₀+y₀)),如圖所示.

(2)找關(guān)系，由于A從P到Q行走的時間是y₀h，于是由勾股定理，|OP|²+|OQ|²=|PQ|²有

(3vx₀)²+［v(x₀+y₀)］²=(3vy₀)²

化簡、整理，得(x₀+y₀)(5x₀-4y₀)=0

又x₀+y₀＞0

∴5x₀=4y₀                                       ①

于是k_PQ=              ②

①代入②，得k_PQ=

(3)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.由于切線PQ與y軸的交點Q對應(yīng)的縱坐標v(x₀+y₀)的值就是問題答案.于是轉(zhuǎn)化為“當直線y=x+b與圓x²+y²=9相切時，求縱截距b的值”.

利用圓心到切線的距離等于半徑，得

 (b＞0)

因此，A和B相遇的地點是在離村落中心正北 km處.

評注：合理建立直角坐標系是解決這類問題的關(guān)鍵.