Question

設(shè)有半徑為3 km的圓形村落,A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā),A向東而B(niǎo)向北前進(jìn),A出村后不久,改變前進(jìn)方向,斜著沿切于村落周界的方向前進(jìn),后來(lái)恰好與B相遇,設(shè)A、B兩人的速度都一定,其比為3∶1,問(wèn)A、B兩人在何處相遇？

Answer 1

活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目,理解題意,這是一個(gè)應(yīng)用題,應(yīng)首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,結(jié)合幾何知識(shí)解題.由于是圓形村落,A、B兩人同時(shí)從村落中心出發(fā),于是可以以村落中心為原點(diǎn),以開(kāi)始時(shí)A、B兩人的前進(jìn)方向?yàn)閤、y軸,建立坐標(biāo)系,這就為建立解析幾何模型創(chuàng)造了條件,然后再準(zhǔn)確設(shè)元,列出方程.

解:以開(kāi)始時(shí)A、B兩人的前進(jìn)方向?yàn)閤、y軸,建立坐標(biāo)系,由題意可設(shè)A、B兩人的速度分別為3v km/h,v km/h,再設(shè)A出發(fā)x₀ h后在點(diǎn)P處改變前進(jìn)方向,又經(jīng)y₀ h在點(diǎn)Q處與B相遇,則P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(3vx₀,0),(0,v(x₀+y₀)),如圖3所示.

圖3

由于A從點(diǎn)P到Q行走的時(shí)間是y₀ h,于是由勾股定理有|OP|²+|OQ|²=|PQ|²,有(3vx₀)²+［v(x₀+y₀)］²=(3vy₀)².化簡(jiǎn)整理得(x₀+y₀)(5x₀-4y₀)=0.

又x₀+y₀＞0,所以5x₀=4y₀.①

于是k_PQ==.②

把①代入②得k_PQ=.由于切線PQ與y軸的交點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)v(x₀+y₀)的值就是問(wèn)題的答案,于是轉(zhuǎn)化為“當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),求縱截距b的值”.利用圓心到切線的距離等于圓的半徑,得=3,解得b=(b＞0).因此A、B兩人相遇的位置是離村落中心正北3 km處.