Question

17．如圖，圓錐的橫截面為等邊三角形SAB，O為底面圓圓心，Q為底面圓周上一點．
（Ⅰ）如果BQ的中點為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，求該圓錐的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，AQ，由已知可得OC∥AQ，再由AB為圓的直徑，可得OC⊥BQ，由SO⊥平面ABQ，得SO⊥BQ，由線面垂直的判定可得BQ⊥平面SOC，進一步得到平面SBQ⊥平面SOC，由面面垂直的性質(zhì)可OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）由已知求解三角形可得OQ=OA=2，SA=4，則SO=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$．由已知體積公式求得圓錐的體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接OC，AQ，
∵O為AB的中點，且BQ的中點為C，
∴OC∥AQ，
∵AB為圓的直徑，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，
∵SO⊥平面ABQ，∴SO⊥BQ，
又SO∩OC=O，∴BQ⊥平面SOC，
則平面SBQ⊥平面SOC，
又平面SBQ∩平面SOC=SC，OH⊥SC，
∴OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）解：∵∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，∴OC=1，OQ=OA=2，SA=4，
則SO=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$．
∴圓錐的體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}•h=\frac{1}{3}π×{2}^{2}×2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}π$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了圓錐體積的求法，是中檔題．