Question

13．如圖所示，已知SA=AB=BC=1，以SC為斜邊的Rt△SAC≌Rt△SBC，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SB}=\frac{3}{4}$．
（1）求二面角A-SB-C的余弦值；
（2）求異面直線AS，BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取M為SB的中點，連接AM，則AM⊥SB，又BC⊥SB，故利用向量$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{BC}$的夾角，利用余弦定理可求二面角A-SB-C的余弦值．
（2）異面直線AS，BC所成角轉(zhuǎn)化為向量$\overrightarrow{AS}$，$\overrightarrow{BC}$的夾角問題，從而得解．

解答 解：（1）取M為SB的中點，連接AM，
則AM⊥SB，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{SB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{SB}$²+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{SB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{SB}$²=$\frac{3}{4}$
∴|$\overrightarrow{SB}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
設(shè)二面角A-SB-C為α，
∵AC=SB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AM=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，BM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，BC=1
∴AC²=AM²+BC²+BM²-2AM•BC•cosα，
∴cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角A-SB-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）$\overrightarrow{AS}$=$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{SM}$=$\overrightarrow{AM}$，
∴$\overrightarrow{AS}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{4}$，
∴異面直線AS，BC所成角所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題以向量為載體，考查面面角，線線角，關(guān)鍵是利用好向量條件．