Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n-2a_na_n+1，a_n≠0且a₁=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；  
（2）令${b_n}={（-1）^{n+1}}n{a_n}{a_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1，取倒數(shù)可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，運用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）${b_n}={（-1）^{n+1}}n{a_n}{a_{n+1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項為1，等差數(shù)列為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$；
（2）解：${b_n}={（-1）^{n+1}}n{a_n}{a_{n+1}}$=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$
=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_2n=$\frac{1}{4}$[（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{4n-3}$+$\frac{1}{4n-1}$）-（$\frac{1}{4n-1}$+$\frac{1}{4n+1}$）]
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{4n+1}$）=$\frac{n}{4n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．