Question

18．若函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極大值，且對于任意x∈[5，8]，f（x）-m≤0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為[32，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（2）的值，求出c的值，從而求出f（x）在[5，8]的單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值，求出m的范圍即可．

解答 解：f（x）=x³-2cx²+c²x，f′（x）=3x²-4cx+c²，
f′（2）=0⇒c=2或c=6；
若c=2，f′（x）=3x²-8x+4，
令f′（x）＞0⇒x＜$\frac{2}{3}$或x＞2，f′（x）＜0⇒$\frac{2}{3}$＜x＜2，
故函數(shù)在（-∞，$\frac{2}{3}$）及（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（$\frac{2}{3}$，2）上單調(diào)遞減，
∴x=2是極小值點．故c=2不合題意，
故c=6，
對于任意x∈[5，8]，f（x）-m≤0恒成立，
即m≥f（x）_max，x∈[5，8]，
而f（x）=x（x-6）²，f′（x）=3x²-24x+36=3（x-2）（x-6），
令f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，
令f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，
故f（x）在[5，6）遞減，在（6，8]遞增，
f（x）的最大值是f（5）或f（8），
而f（5）=5，f（8）=32，
故m≥32，
故答案為：[32，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．