Question

9．設(shè){a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列．記c_n=a_n+b_n，n=1，2，3，…．
（1）若{c_n}是等差數(shù)列，求q的值；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）分別運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a_n，b_n，再由等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得q的值；
（2）求出c_n=a_n+b_n=2n-1+q^n-1．（n=1，2，…），運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和，討論公比q為1與不為1，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：（1）{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以 a_n=1+2（n-1）=2n-1，
{b_n}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，
所以b_n=q^n-1．
所以c_n=a_n+b_n=2n-1+q^n-1．
因?yàn)閧c_n}是等差數(shù)列，
所以2c₂=c₁+c₃，
即 2（3+q）=2+5+q²，解得q=1．
經(jīng)檢驗(yàn)，q=1時(shí)，c_n=2n，所以{c_n}是等差數(shù)列．
（2）由（1）知c_n=a_n+b_n=2n-1+q^n-1．（n=1，2，…）
所以數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=（1+3+5+…+2n-1）+（1+q+q²+…q^n-1），
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）+n=n²+n；
當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=n²+$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，同時(shí)考查分類討論思想方法，屬于中檔題．