Question

5．對于數(shù)列{a_n}，定義H_n=$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}}{n}$為{a_n}的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列{a_n}的“優(yōu)值”H_n=2ⁿ⁺¹，記數(shù)列{a_n-kn}的前n項和為S_n，若S_n≤S₆對任意的n恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是$[\frac{16}{7}，\frac{7}{3}]$．

Answer 1

分析 由題意，H_n=$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，則a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n•2ⁿ⁺¹，n≥2時，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，相減可得a_n=2（n+1），對a₁也成立，可得a_n-kn=（2-k）n+2．由于數(shù)列{a_n-kn}為等差數(shù)列，S_n≤S₆對任意的n（n∈N^*）恒成立可化為a₆-6k≥0，a₇-7k≤0，即可得出．

解答 解：由題意，H_n=$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}+…+{2}^{n-1}{a}_{n}}{n}$=2ⁿ⁺¹，
則a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n•2ⁿ⁺¹，
n≥2時，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，
則2^n-1a_n=n2ⁿ⁺¹-（n-1）2ⁿ=（n+1）2ⁿ，
則a_n=2（n+1），對a₁也成立，
故a_n=2（n+1），
則a_n-kn=（2-k）n+2，
則數(shù)列{a_n-kn}為等差數(shù)列，
故S_n≤S₆對任意的n（n∈N^*）恒成立可化為
a₆-6k≥0，a₇-7k≤0；
即$\left\{\begin{array}{l}{6（2-k）+2≥0}\\{7（2-k）+2≤0}\end{array}\right.$
解得，$\frac{16}{7}≤k≤\frac{7}{3}$，
故答案為：$[\frac{16}{7}，\frac{7}{3}]$．

點評 本題考查了新定義、等差數(shù)列的通項公式與單調(diào)性、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．