Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（Ⅰ）證明：{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n=$\frac{3}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{3^2}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{3^n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=3a_n+2，變形為a_n+1+1=3（a_n+1），利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：由a_n+1=3a_n+2⇒a_n+1+1=3（a_n+1）．…（1分）
∵a₁=2，∴a₁+1=3≠0且a_n+1≠0．…（2分）
∴$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=3$．…（3分）
所以{a_n+1}是首項(xiàng)為3公比為3的等比數(shù)列．…（4分）${a_n}+1=3•{3^{n-1}}={3^n}$，得${a_n}={3^n}-1$．
即{a_n}的通項(xiàng)公式是${a_n}={3^n}-1$．…（6分）
（Ⅱ）解：$\frac{3}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{3^2}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{3^n}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{3}{{（3-1）（{3^2}-1）}}+\frac{3^2}{{（{3^2}-1）（{3^3}-1）}}+…+\frac{3^n}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}$
=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3-1}-\frac{1}{{{3^2}-1}}）+（\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}）+…+（\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）]$…（9分）
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）=\frac{1}{4}-\frac{1}{{2（{3^{n+1}}-1）}}$．…（11分）
∴${S_n}=\frac{1}{4}-\frac{1}{{2（{3^{n+1}}-1）}}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和方法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．