Question

函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x-x²，
（Ⅰ）求x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（Ⅱ）問是否存在這樣的正數(shù)a，b，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)?img class='latex' alt='數(shù)學(xué)公式' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/40867.png' />？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）任取x＜0，得-x＞0，故有f（-x）=-2x-x²
又函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x-x²
∴x＜0時(shí)，f（x）=2x+x²；
（Ⅱ）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1≤1，
若存在這樣的正數(shù)a，b，則當(dāng)，
∴f（x）在[a，b]內(nèi)單調(diào)遞減，
∴?a，b是方程x³-2x²+1=0的兩正根，
∵x³-2x²+1=（x-1）（x²-x-1）=0，
∴，
∴．
分析：（Ⅰ）由題意，函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，x≥0時(shí)，f（x）=2x-x²，要求x＜0時(shí)，f（x）的解析式，可選取x＜0，得到-x＞0，代入x≥0時(shí)時(shí)的解析式，得到f（-x），再由f（-x）=-f（x），兩者聯(lián)立，即可求得x＜0時(shí)，f（x）的解析式，
（Ⅱ）由題意，x＞0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1≤1，可得出，得出a≥1，由此知函數(shù)在[a，b]上是減函數(shù)，故可得出，解此方程組得出a，b的值
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是題解題意，判斷函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的最值，再利用函數(shù)的最值建立方程求出參數(shù)的值，利用最值建立方程是最值的一個(gè)非常重要的應(yīng)用，本題第一小題求利用奇函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)稱區(qū)間上的解析式，是奇函數(shù)性質(zhì)的重要運(yùn)用，注意總結(jié)此題的解法步驟