Question

【題目】已知函數(shù)（，且為常數(shù)）．

（1）若函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為（為自然對數(shù)的底數(shù)），求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；

（3）已知，且．求證：．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）詳見解析．

【解析】

（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義知，由此構造方程求得結果；

（2）將問題轉化為且恒成立的問題，令，分別在、和或時，結合函數(shù)單調(diào)性確定最小值，令，從而求得的取值范圍；

（3）根據(jù)（2）的結論可知在上單調(diào)遞增，分類討論可確定，將不等關系代入所求不等式左側，結合對數(shù)運算可整理得到結果.

（1）由題意得：

的圖象在處的切線的斜率為，，

，解得：，

，或；

（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，對于任意的，都有恒成立

即且，

當，恒成立，滿足題意；

當時，由得：，即或或，

令，則，

①當且時，，在上單調(diào)遞減，

要使得恒成立，即要求，

即，解得：，滿足題意；

②當或，且時，，在上單調(diào)遞增，

要使得恒成立，即要求，

即，解得：；

或

綜上所述：的取值范圍是；

（3）由（2）可知：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，

當時，，而，

，即，

，

當時，，而，

，即，

綜上，對于任意，都有，

，結論得證.