Question

6．對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x₀，滿足f（-x₀）=-f（x₀），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”，已知f（x）=4^x-m2^x+1+m-3為定義R上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． $[1-\sqrt{3}，+∞）$
• B． [-2，+∞）
• C． $[-2，2\sqrt{2}]$
• D． $[-2，1+\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 根據(jù)“局部奇函數(shù)”，可知函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法進(jìn)行求解．

解答 解：根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義可知，函數(shù)f（-x）=-f（x）有解即可，
即f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m-3=-（4^x-m2^x+1+m-3），
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m-6=0，
即（2^x+2^-x）²-2m?（2^x+2^-x）+2m-8=0有解即可．
設(shè)t=2^x+2^-x，則t=2^x+2^-x≥2，
∴方程等價(jià)為t²-2m?t+2m-8=0在t≥2時(shí)有解，
則g（t）=t²-2m?t+2m-8，其對(duì)稱軸為t=m，
①若m≥2，有△=4m²-4（2m-8）=4（m²-2m+8）≥0恒成立，
即m≥4時(shí)，滿足題意，
②若m＜4，要使t²-2m?t+2m-8=0在t≥2時(shí)有解，
令g（t）=t²-2m?t+2m-8，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{△≥0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$
解得-2≤m＜2，
綜上：m≥-2，即m的取值范圍是[2，+∞）；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的新定義，利用函數(shù)的新定義得到方程有解的條件，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問(wèn)題去解決是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．