Question

5．已知t＞0，關(guān)于x的方程$\sqrt{2}-|x|=\sqrt{t-{x^2}}$，則這個(gè)方程的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0或2
• B． 0或2或3或4
• C． 0或2或4
• D． 0或1或2或3或4

Answer 1

分析 因?yàn)殛P(guān)于x的方程$\sqrt{2}-|x|=\sqrt{t-{x^2}}$等號兩邊均為正數(shù)，轉(zhuǎn)化為C₁：y=|x|-$\sqrt{2}$，C₂：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$的圖象的交點(diǎn)問題，可通過在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)C₁：y=|x|-$\sqrt{2}$，C₂：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$，的圖象，通過判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷方程的相異實(shí)根根數(shù)．

解答 解：令C1：y=|x|-$\sqrt{2}$，C2：y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$，
由于y=|x|-$\sqrt{2}$=$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{2}，x≥0}\\{-x-\sqrt{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
方程y=-$\sqrt{t-{x}^{2}}$平方得：x²+y²=t，（y≤0），
畫出它們的圖象，如圖所示，一個(gè)是折線，一個(gè)是半個(gè)圓．
當(dāng)圓心（0，0）到直線y=x-$\sqrt{2}$的距離等于半徑時(shí)，
即$\frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1=$\sqrt{t}$時(shí)，t=1；
當(dāng)圓經(jīng)過點(diǎn)（0，-$\sqrt{2}$）時(shí)，0²+（-$\sqrt{2}$）²=t，⇒t=2．
利用數(shù)形結(jié)合知：當(dāng)0＜t＜1或t＞2時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根；
當(dāng)t=1時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)t=2時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根．
綜合，則這個(gè)方程實(shí)根的個(gè)數(shù)情況是 0或2或3或4．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查圖象法判斷方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，關(guān)鍵是畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象．