Question

20．設函數f（x）=x²+bx+c（a≠0，b，c∈R），若f（1+x）=f（1-x），f（x）的最小值為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數y=|f（x）|與y=t相交于4個不同交點，從左到右依次為A，B，C，D，是否存在實數t，使得線段|AB|，|BC|，|CD|能構成銳角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數的對稱軸求出b的值，根據函數的最小值求出c的值，從而求出函數的解析式即可；
（Ⅱ）分別求出|AB|-|CD|，|CB|，得到不等式（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{1-t}$＜$\sqrt{2}$$\sqrt{1+t}$，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（1+x）=f（1-x），
∴函數的對稱軸是x=1，即-$\frac{2}$=1，解得：b=-2；
∵f（x）的最小值是-1，∴$\frac{4c{-b}^{2}}{4}$=-1，解得：c=0，
∴f（x）=x²-2x；
（Ⅱ）若函數y=|f（x）|與y=t相交于4個不同交點，則0＜t＜1，
易知x_A=1-$\sqrt{1+t}$，x_B=1-$\sqrt{1-t}$，x_C=1+$\sqrt{1-t}$，x_D=1+$\sqrt{1+t}$，
∴|AB|-|CD|=$\sqrt{1+t}$-$\sqrt{1-t}$，|CB|=2$\sqrt{1-t}$，
∴線段|AB|，|BC|，|CD|能構成等腰銳角三角形，
∴|BC|≤$\sqrt{2}$|AB|，即2$\sqrt{1-t}$＜$\sqrt{2}$（$\sqrt{1+t}$-$\sqrt{1-t}$），
即（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{1-t}$＜$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+t}$，
解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜t＜1．

點評 本題考查了求二次函數的表達式，考查不等式問題，是一道中檔題．