Question

【題目】在數(shù)列{an}中，an=cos （n∈N*）
（1）試將an+1表示為an的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=1﹣ （n∈N*），猜想an與bn的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解： = ═ ∴

∴

又n∈N*，n+1≥2，an+1＞0∴

（2）解：當(dāng)n=1時(shí)， ，b1=1﹣2=﹣1，∴a1＞b1

當(dāng)n=2時(shí)， ， ，∴a2=b2

當(dāng)n=3時(shí)， ， ，∴a3＜b3

猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，an＜bn，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證：①當(dāng)n=3時(shí)，由上知，a3＜b3，結(jié)論成立．

②假設(shè)n=k，k≥3，n∈N*時(shí)，ak＜bk成立，即

則當(dāng)n=k+1， = ，

要證ak+1＜bk+1，即證明

即證明

即證明

即證明 ，顯然成立．

∴n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．

綜合①②可知：當(dāng)n≥3時(shí)，an＜bn成立．

綜上可得：當(dāng)n=1時(shí)，a1＞b1；當(dāng)n=2時(shí)，a2=b2

當(dāng)n≥3，n∈N*時(shí)，an＜bn

【解析】（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求解遞推關(guān)系式即可．（2）通過(guò)當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，計(jì)算結(jié)果猜想：當(dāng)n≥3時(shí)，an＜bn ， 然后利用數(shù)學(xué)歸納法的坐標(biāo)方法證明即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法的定義，需要了解根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能得出正確答案．