Question

18．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為AA₁的中點，則A到面MBD的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點A到面MBD的距離．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），M（1，0，$\frac{1}{2}$），B（1，1，0），
A（1，0，0），
$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{DM}$=（1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），
設平面DBM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=x+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），
∴A到面MBD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．