Question

2．已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的前5項積為243，且2a₃為3a₂和a₄的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=b_n-1•log₃a_n+2（n≥2且n∈N*），且b₁=1，求數(shù)列$\left\{{\frac{（n-1）!}{{{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）運用等比數(shù)列的性質(zhì)可得a₃=3，設等比數(shù)列的公比為q，運用等差數(shù)列中項的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列通項公式，解得q=3，即可得到所求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求得b_n=b_n-1•log₃a_n+2=b_n-1•n，運用數(shù)列恒等式b_n=b₁•$\frac{_{2}}{_{1}}$…$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=n!，求出$\frac{（n-1）!}{{{b_{n+1}}}}=\frac{（n-1）!}{（n+1）!}=\frac{1}{（n+1）n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，運用裂項相消求和即可得到所求和．

解答 解：（1）由前5項積為243，即為a₁a₂a₃a₄a₅=243，
即有a₁a₅=a₂a₄=a₃²，即a₃⁵=243，
得：a₃=3，設等比數(shù)列的公比為q，
由2a₃為3a₂和a₄的等差中項得：4a₃=3a₂+a₄，
即$3•\frac{3}{q}+3q=4×3$，
由公比不為1，解得：q=3，
所以a_n=a₃q^n-3，
即${a_n}={3^{n-2}}$．
（2）由b_n=b_n-1•log₃a_n+2=b_n-1•n，
得${b_n}=\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}•\frac{{{b_{n-1}}}}{{{b_{n-2}}}}•…•\frac{b_2}{b_1}•{b_1}=n•（n-1）…2•1=n!$，
數(shù)列$\frac{（n-1）!}{{{b_{n+1}}}}=\frac{（n-1）!}{（n+1）!}=\frac{1}{（n+1）n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以它的前n項和${S_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列中項的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列恒等式和求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．