Question

18．函數(shù)f（x）=x²+b•x+c•3^x（b，c∈R），若{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}≠∅，則b+c的取值范圍為[0，4）．

Answer 1

分析 求出c=0，求出f（x）的解析式，通過討論b，求出滿足條件的b的范圍，即b+c的范圍．

解答 解：設(shè)x₀∈{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}，
則$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{0}）=0}\\{f（f{（x}_{0}））=0}\end{array}\right.$，故f（0）=0，故c=0，
∴f（x）=x²+bx，
①b=0時，{x∈R|f（x）=0}={x∈R|f（f（x））=0}，
②b≠0時，{x|f（x）=0}={0，-b}，
則f（f（x））=x（x+b）（x²+bx+b）=0僅有0，-b兩個根，
∴b²-4b＜0，解得：0＜b＜4，
綜上，b∈[0，4），b+c∈[0，4），
故答案為：[0，4）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．