Question

14．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，以F₂為圓心與雙曲線的漸近線相切，若圓F₂和雙曲線的一個交點(diǎn)為M，滿足MF₁⊥MF₂，則雙曲線的離心率是$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，即為圓F的半徑，再由MF₁⊥MF₂，結(jié)合雙曲線的定義，利用勾股定理建立方程關(guān)系，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F₂（c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
可得F₂到漸近線bx-ay=0的距離d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
即圓F₂的半徑為b，
∵圓F₂和雙曲線的一個交點(diǎn)為M，
∴MF₁-MF₂=2a，MF₂=b，
∴MF₁=2a+b，
∵M(jìn)F₁⊥MF₂，
∴MF₁²+MF₂²=F₁F₂²，
即（2a+b）²+b²=4c²=4a²+4b²，
則4a²+4ab+b²=4a²+4b²，
即4ab=3b²，
則4a=3b，
則$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{16}{9}}$=$\sqrt{\frac{25}{9}}$=$\frac{5}{3}$，
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，利用雙曲線的定義結(jié)合離心率的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．