Question

10．已知數(shù)列{a_n}，S_n是其前n項(xiàng)的和且滿足3a_n=2S_n+n（n∈N^*），則S_n=$\frac{{3}^{n+1}-3-2n}{4}$．

Answer 1

分析 3a_n=2S_n+n（n∈N^*），n=1時(shí)，3a₁=2a₁+1，解得a₁．n≥2時(shí)，可得：3a_n-3a_n-1=2a_n+1，化為a_n=3a_n-1+1，變形為：a_n$+\frac{1}{2}$=3（a_n-1+$\frac{1}{2}$），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，進(jìn)而得出S_n．

解答 解：∵3a_n=2S_n+n（n∈N^*），
∴n=1時(shí)，3a₁=2a₁+1，解得a₁=1．
n≥2時(shí)，3a_n-1=2S_n-1+（n-1），可得：3a_n-3a_n-1=2a_n+1，
化為a_n=3a_n-1+1，變形為：a_n$+\frac{1}{2}$=3（a_n-1+$\frac{1}{2}$），
∴數(shù)列$\{{a}_{n}+\frac{1}{2}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為3．
∴a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$×3^n-1，即a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$．
∴$3×\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$=2S_n+n，解得S_n=$\frac{{3}^{n+1}-3-2n}{4}$．
故答案為：$\frac{{3}^{n+1}-3-2n}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．