Question

【題目】已知橢圓 （）的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，設(shè)與平行的直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，直線， 分別與軸正半軸交于， 兩點(diǎn)．

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)判斷的值是否為定值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）由，設(shè)直線（）聯(lián)立方程， ，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式先證明 ，可得直線和直線的斜率和為零，可得，故，從而得在線段的中垂線上，進(jìn)而可得.

試題解析：（Ⅰ）由題意，

解得： ， ，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）假設(shè)直線TP或TQ的斜率不存在，則P點(diǎn)或Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，－1)，直線l的方程為，即.

聯(lián)立方程，得，

此時(shí)，直線l與橢圓C相切，不合題意.

故直線TP和TQ的斜率存在.

方法1：

設(shè)， ，則

直線，，

直線

故， ，

由直線，設(shè)直線（），

聯(lián)立方程， ，

當(dāng)時(shí)， ， ，

.

方法2：

設(shè)， ，直線和的斜率分別為和,

由，設(shè)直線（）,

聯(lián)立方程， ,

當(dāng)時(shí)， ， ,

,

故直線和直線的斜率和為零,

故,

故,

故在線段的中垂線上，即的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2

故.