Question

設(shè)點M（x₀，y₀）在直線2x+y-2=0上運動，若在圓：x²+y²=1上存在點N，使得∠OMN=30°，則x₀的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓

分析：根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，可知當(dāng)過M點作圓的切線，切線與OM所成角是圓上的點與OM所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此時半徑，切線與OM構(gòu)成直角三角形，因為切線與OM所成角大于等于30°所以O(shè)M小于等于半徑的2倍，再用含x₀的式子表示OM，即可求出x₀的取值范圍．

解答： 解：過M作⊙C切線交⊙C于R，
根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OMR≥∠OMR=30°．
反過來，如果∠OMR≥30°，
則⊙C上存在一點N使得∠OMN=30°．
∴若圓C上存在點N，使∠OMN=30°，則∠OMR≥30°．
∵|OR|=1，
∴|OM|＞2時不成立，
∴|OM|≤2．
又∵|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（2-2x₀）²=5x₀²-8x₀+4
∴5x₀²-8x₀+4≤4，
解得，0≤x₀≤

8

5

．
∴x₀的取值范圍是[0，

8

5

]
故答案為：[0，

8

5

]．

點評：本題主要考查了直線與圓相切時切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，屬于中檔題．