Question

1．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+3sin²θ）=4．
（Ⅰ）求曲線C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若曲線C與x軸的正半軸及y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B，在曲線C上任取 一點(diǎn)P，求點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，由此能求出曲線C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求得直線AB的方程，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+3sin²θ）=4，
即ρ²（sin²θ+cos²θ+3sin²θ）=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得到曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
∴曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）；
（Ⅱ）∵曲線與x軸的正半軸及y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，
∴由已知可得A（2，0），B（0，1），直線AB的方程：x+2y-2=0，
設(shè)P（2cosφ，sinφ），0＜φ＜2π，
則P到直線AB的距離d=$\frac{丨2cosφ+2sinφ-2丨}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$丨$\sqrt{2}$sin（φ+$\frac{π}{4}$）-1丨，
∴當(dāng)φ+$\frac{π}{4}$=π，即φ=$\frac{3π}{4}$時(shí)d取最大值，最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（$\sqrt{2}$+1）．
點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（$\sqrt{2}$+1）．

點(diǎn)評 本題考查曲線的參數(shù)方程的求法，點(diǎn)到直線的距離公式，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．