Question

16．如圖，在△ABC中，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{NC}$，P是BN上的一點，若$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{11}\overrightarrow{AC}$，則實數m的值為（　　）

• A． $\frac{9}{11}$
• B． $\frac{2}{11}$
• C． $\frac{3}{11}$
• D． $\frac{1}{11}$

Answer 1

分析 根據P是BN上的一點，設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$，把$\overrightarrow{AP}$表示成m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$形式，
利用$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{AC}$，列方程組求出m的值．

解答 解：∵P是BN上的一點，
設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$，由$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{NC}$，
則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$
=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BN}$
=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AN}$
=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$λ$\overrightarrow{AC}$
=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1-λ}\\{\frac{1}{5}λ=\frac{2}{11}}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{10}{11}$，m=$\frac{1}{11}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的基本定理應用問題，解題的關鍵是根據平面向量的基本定理構造關于λ，m的方程組．