Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{4}{3}$x³-ax，在x=$\frac{1}{2}$處取得極小值，記g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$，程序框圖如圖所示，若輸出的結果S＞$\frac{12}{25}$，則判斷框中可以填入的關于n的判斷條件是（　�。�

• A． n≤12？
• B． n＞12？
• C． n≤13？
• D． n＞13？

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=$\frac{4}{3}$x³-ax，在x=$\frac{1}{2}$處取得極小值，可求出a值，進而求出函數(shù)f（x）及函數(shù)g（x）的解析式，然后利用裂項相消法，可求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）的值與n的關系，分析出最后進行循環(huán)的循環(huán)變量n的終值，分析后可得判斷條件．

解答 解：∵f（x）=$\frac{4}{3}$x³-ax，
∴f′（x）=4x²-a，
∵f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極小值，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=4×（$\frac{1}{2}$）²-a=0，解得a=1，
∴f（x）=$\frac{4}{3}$x³-x，
∴f′（x）=4x²-1，
∴g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$=$\frac{1}{（2x+1）（2x-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2x-1}$-$\frac{1}{2x+1}$），
∴S=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
若輸出的結果S=$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{12}{25}$，解得：n＞12，
則表示累加的終值應滿足n＞12，
即n≤13時，滿足進入循環(huán)進行累加的條件，n＞13退出循環(huán)，
故選：C．

點評 此題重點考查了導數(shù)的應用，還考查了循環(huán)程序的程序框圖、歸納推理、裂項相消求和等知識，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．