2.如圖1,在高為2的梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=5,過A、B分別作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分別為E、F.已知DE=1,將梯形ABCD沿AE、BF同側(cè)折起,得空間幾何體ADE-BCF,如圖2.

(Ⅰ)若AF⊥BD,證明:△BDE為直角三角形;
(Ⅱ)若DE∥CF,$CD=\sqrt{3}$,求平面ADC與平面ABFE所成角的余弦值.

分析 (1)由AF⊥BE,AF⊥BD可得AF⊥平面BFE,得出AF⊥DE,結(jié)合DE⊥AE即可得出DE⊥平面ABFE,故而DE⊥BE;
(2)求出∠CFE的大小,以E為原點建立空間坐標(biāo)系,求出平面ACD和平面ABFE的法向量,計算兩法向量的夾角即可得出二面角的大小.

解答 (1)證明:連接BE,
由已知可知四邊形ABFE是正方形,∴AF⊥BE,
又AF⊥BD,BE∩DE=E,
∴AF⊥平面BDE,又DE?平面BDE,
∴AF⊥DE,
又DE⊥AE,AE∩AF=F,
∴DE⊥平面ABFE,又BE?平面ABFE,
∴DE⊥BE,即△BDE為直角三角形.
(2)取CF的中點M,連結(jié)DM,則四邊形DEFM是平行四邊形,
∴DM=EF=2,CM=$\frac{1}{2}$CF=1,又CD=$\sqrt{3}$,
∴cos∠CMD=$\frac{1+4-3}{2×1×2}$=$\frac{1}{2}$,即∠CMD=∠CFE=60°,
過E作EG⊥EF,則EG⊥平面ABFE,
以E為原點,以EA,EF,EG為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),C(0,1,$\sqrt{3}$),D(0,-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
∴$\overrightarrow{AC}$=(-2,1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{AD}$=(-2,-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y+\sqrt{3}z=0}\\{-2x-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$,令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,$\sqrt{3}$),
又GE⊥平面ABFE,∴$\overrightarrow{m}$=(0,0,1)是平面ABFE的一個法向量,
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$,
由圖形可知平面ADC與平面ABFE所成角為銳二面角,
∴平面ADC與平面ABFE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$.

點評 本題考查了線面垂直的判定,空間向量與二面角的計算,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.已知函數(shù)f(x)=$\frac{4}{3}$x3-ax,在x=$\frac{1}{2}$處取得極小值,記g(x)=$\frac{1}{f′(x)}$,程序框圖如圖所示,若輸出的結(jié)果S>$\frac{12}{25}$,則判斷框中可以填入的關(guān)于n的判斷條件是( 。
A.n≤12?B.n>12?C.n≤13?D.n>13?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.設(shè)z=1+$\frac{a}{i}$(a∈R),若z(2-i)為實數(shù),則a=(  )
A.-2B.-$\frac{1}{2}$C.1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{{e}^{2x}}$,g(x)=-2xln(1+$\frac{1}{x}$)-lnf(x).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)a=0時,函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)是否存在零點?如果存在,求出該零點;如果不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.已知x,y滿足:$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)多個,則實數(shù)a的值是1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知$sinαsin(α+\frac{π}{2})=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$,則cos2α=$±\frac{1}{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.在區(qū)間[-2,4]上隨機地取一個數(shù)x,使${a^2}+\frac{1}{{{a^2}+1}}≥|x|$恒成立的概率是( 。
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.若a∈R,則復(fù)數(shù)z=$\frac{3-ai}{i}$在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限是a≥0的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.閱讀如圖的框圖,則輸出的S=( 。
A.30B.29C.55D.54

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案