分析 (1)由AF⊥BE,AF⊥BD可得AF⊥平面BFE,得出AF⊥DE,結(jié)合DE⊥AE即可得出DE⊥平面ABFE,故而DE⊥BE;
(2)求出∠CFE的大小,以E為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出平面ACD和平面ABFE的法向量,計(jì)算兩法向量的夾角即可得出二面角的大�。�
解答 (1)證明:連接BE,
由已知可知四邊形ABFE是正方形,∴AF⊥BE,
又AF⊥BD,BE∩DE=E,
∴AF⊥平面BDE,又DE?平面BDE,
∴AF⊥DE,
又DE⊥AE,AE∩AF=F,
∴DE⊥平面ABFE,又BE?平面ABFE,
∴DE⊥BE,即△BDE為直角三角形.
(2)取CF的中點(diǎn)M,連結(jié)DM,則四邊形DEFM是平行四邊形,
∴DM=EF=2,CM=12CF=1,又CD=√3,
∴cos∠CMD=1+4−32×1×2=12,即∠CMD=∠CFE=60°,
過E作EG⊥EF,則EG⊥平面ABFE,
以E為原點(diǎn),以EA,EF,EG為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),C(0,1,√3),D(0,-12,√32),
∴→AC=(-2,1,√3),→AD=(-2,-12,√32),
設(shè)平面ACD的法向量為→n=(x,y,z),則{→n•→AC=0→n•→AD=0,
即{−2x+y+√3z=0−2x−12y+√32z=0,令z=√3得→n=(1,-1,√3),
又GE⊥平面ABFE,∴→m=(0,0,1)是平面ABFE的一個(gè)法向量,
∴cos<→m,→n>=→m•→n|→m||→n|=√3√5=√155,
由圖形可知平面ADC與平面ABFE所成角為銳二面角,
∴平面ADC與平面ABFE所成角的余弦值為√155.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定,空間向量與二面角的計(jì)算,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | n≤12? | B. | n>12? | C. | n≤13? | D. | n>13? |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -2 | B. | -12 | C. | 1 | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | \frac{1}{3} | B. | \frac{1}{2} | C. | \frac{2}{3} | D. | \frac{3}{4} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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