Processing math: 80%
2.如圖1,在高為2的梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=5,過A、B分別作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分別為E、F.已知DE=1,將梯形ABCD沿AE、BF同側(cè)折起,得空間幾何體ADE-BCF,如圖2.

(Ⅰ)若AF⊥BD,證明:△BDE為直角三角形;
(Ⅱ)若DE∥CF,CD=3,求平面ADC與平面ABFE所成角的余弦值.

分析 (1)由AF⊥BE,AF⊥BD可得AF⊥平面BFE,得出AF⊥DE,結(jié)合DE⊥AE即可得出DE⊥平面ABFE,故而DE⊥BE;
(2)求出∠CFE的大小,以E為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出平面ACD和平面ABFE的法向量,計(jì)算兩法向量的夾角即可得出二面角的大�。�

解答 (1)證明:連接BE,
由已知可知四邊形ABFE是正方形,∴AF⊥BE,
又AF⊥BD,BE∩DE=E,
∴AF⊥平面BDE,又DE?平面BDE,
∴AF⊥DE,
又DE⊥AE,AE∩AF=F,
∴DE⊥平面ABFE,又BE?平面ABFE,
∴DE⊥BE,即△BDE為直角三角形.
(2)取CF的中點(diǎn)M,連結(jié)DM,則四邊形DEFM是平行四邊形,
∴DM=EF=2,CM=12CF=1,又CD=3
∴cos∠CMD=1+432×1×2=12,即∠CMD=∠CFE=60°,
過E作EG⊥EF,則EG⊥平面ABFE,
以E為原點(diǎn),以EA,EF,EG為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),C(0,1,3),D(0,-1232),
AC=(-2,1,3),AD=(-2,-1232),
設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),則{nAC=0nAD=0,
{2x+y+3z=02x12y+32z=0,令z=3n=(1,-1,3),
又GE⊥平面ABFE,∴m=(0,0,1)是平面ABFE的一個(gè)法向量,
∴cos<mn>=mn|m||n|=35=155
由圖形可知平面ADC與平面ABFE所成角為銳二面角,
∴平面ADC與平面ABFE所成角的余弦值為155

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定,空間向量與二面角的計(jì)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.已知函數(shù)f(x)=43x3-ax,在x=12處取得極小值,記g(x)=1fx,程序框圖如圖所示,若輸出的結(jié)果S>1225,則判斷框中可以填入的關(guān)于n的判斷條件是(  )
A.n≤12?B.n>12?C.n≤13?D.n>13?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.設(shè)z=1+ai(a∈R),若z(2-i)為實(shí)數(shù),則a=( �。�
A.-2B.-12C.1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=ax2+2x1e2x,g(x)=-2xln(1+1x)-lnf(x).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)?如果存在,求出該零點(diǎn);如果不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.已知x,y滿足:{x0x+y2xy0,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值時(shí)的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè),則實(shí)數(shù)a的值是1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

7.已知sinαsin(α+\frac{π}{2})=\frac{{\sqrt{2}}}{3},則cos2α=±\frac{1}{3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,使{a^2}+\frac{1}{{{a^2}+1}}≥|x|恒成立的概率是(  )
A.\frac{1}{3}B.\frac{1}{2}C.\frac{2}{3}D.\frac{3}{4}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.若a∈R,則復(fù)數(shù)z=\frac{3-ai}{i}在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限是a≥0的(  )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.閱讀如圖的框圖,則輸出的S=(  )
A.30B.29C.55D.54

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案