分析 (1)由AF⊥BE,AF⊥BD可得AF⊥平面BFE,得出AF⊥DE,結(jié)合DE⊥AE即可得出DE⊥平面ABFE,故而DE⊥BE;
(2)求出∠CFE的大小,以E為原點建立空間坐標(biāo)系,求出平面ACD和平面ABFE的法向量,計算兩法向量的夾角即可得出二面角的大小.
解答 (1)證明:連接BE,
由已知可知四邊形ABFE是正方形,∴AF⊥BE,
又AF⊥BD,BE∩DE=E,
∴AF⊥平面BDE,又DE?平面BDE,
∴AF⊥DE,
又DE⊥AE,AE∩AF=F,
∴DE⊥平面ABFE,又BE?平面ABFE,
∴DE⊥BE,即△BDE為直角三角形.
(2)取CF的中點M,連結(jié)DM,則四邊形DEFM是平行四邊形,
∴DM=EF=2,CM=$\frac{1}{2}$CF=1,又CD=$\sqrt{3}$,
∴cos∠CMD=$\frac{1+4-3}{2×1×2}$=$\frac{1}{2}$,即∠CMD=∠CFE=60°,
過E作EG⊥EF,則EG⊥平面ABFE,
以E為原點,以EA,EF,EG為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),C(0,1,$\sqrt{3}$),D(0,-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
∴$\overrightarrow{AC}$=(-2,1,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{AD}$=(-2,-$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y+\sqrt{3}z=0}\\{-2x-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$,令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,$\sqrt{3}$),
又GE⊥平面ABFE,∴$\overrightarrow{m}$=(0,0,1)是平面ABFE的一個法向量,
∴cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$,
由圖形可知平面ADC與平面ABFE所成角為銳二面角,
∴平面ADC與平面ABFE所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
點評 本題考查了線面垂直的判定,空間向量與二面角的計算,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | n≤12? | B. | n>12? | C. | n≤13? | D. | n>13? |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -2 | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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