Question

14．在區(qū)間[-2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，使${a^2}+\frac{1}{{{a^2}+1}}≥|x|$恒成立的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 先根據(jù)基本不等式得到|x|≤1．再解絕對(duì)值不等式，再利用解得的區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間[-2，4]的長(zhǎng)度求比值即得．

解答 解：a²+$\frac{1}{{a}^{2}+1}$=a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}+1}$-1≥2$\sqrt{（{a}^{2}+1）•\frac{1}{{a}^{2}+1}}$-1=2-1=1，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)取等號(hào)，
∵${a^2}+\frac{1}{{{a^2}+1}}≥|x|$恒成立，
∴|x|≤1，
解得-1≤x≤1，
故在區(qū)間[-2，4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，使${a^2}+\frac{1}{{{a^2}+1}}≥|x|$恒成立的概率是$\frac{1+1}{4+2}$=$\frac{1}{3}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何概型，簡(jiǎn)單地說，如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．