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19.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=4,且對任意m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{1anan+1}的前n項和為Sn,求證:14≤Sn13

分析 (I)令m=1,p=n-1,q=2,可得:an+a1=an-1+a2,即an-an-1=3.(n≥2).利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(II)1anan+1=13n23n+1=1313n213n+1.利用裂項求和方法與數(shù)列的單調(diào)性即可證明.

解答 (I)解:令m=1,p=n-1,q=2,可得:an+a1=an-1+a2,即an-an-1=3.(n≥2).
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為3.
∴an=1+3(n-1)=3n-2.
(II)證明:1anan+1=13n23n+1=1313n213n+1
∴Sn=13[114+1417+…+13n213n+1]
=13113n+113
另一方面:數(shù)列{13n+1}單調(diào)遞增,∴Sn≥S1=14
14≤Sn13

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、裂項求和方法、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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