Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-$\frac{2}{3}$與x=1時(shí)都取得極值
（1）求a，b的值；
（2）求過點(diǎn)（0，1）的f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知x₁=-$\frac{2}{3}$與x₂=1是方程3x²+2ax+b=0的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理即可求得a，b的值；
（2）設(shè)的切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線的斜率k=3t²-t-2，將（0，1）代入點(diǎn)斜式方程，即可求得t的值，代入點(diǎn)斜式方程，即可求得過點(diǎn)（0，1）的f（x）的切線方程．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+1，求導(dǎo)f′（x）=3x²+2ax+b，
由f（x）在x₁=-$\frac{2}{3}$與x₂=1時(shí)都取得極值，
則x₁+x₂=-$\frac{2a}{3}$，x₁x₂=$\frac{3}$，
即-$\frac{2}{3}$+1=-$\frac{2a}{3}$，-$\frac{2}{3}$×1=$\frac{3}$，解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
a，b的值-$\frac{1}{2}$，-2；
（2）則f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+1，f′（x）=3x²-x-2，
設(shè)切點(diǎn)為（t，t³-$\frac{1}{2}$t²-2t+1），切線斜率k=3t²-t-2，
則切線方程為y-（t³-$\frac{1}{2}$t²-2t+1）=（3t²-t-2）（x-t），
由直線方程過（0，1），代入切線方程，解得：t=0或t=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=0時(shí)則f（x）在（0，1）切線方程的斜率k=f′（0）=-2，
則在（0，1）處的切線方程y-1=-2（x-0），整理得：2x+y-1=0，
當(dāng)t=$\frac{1}{4}$，則切點(diǎn)為（$\frac{1}{4}$，$\frac{31}{64}$），切線斜率k=-$\frac{33}{64}$，
則切線方程為：y-$\frac{31}{64}$=-$\frac{33}{64}$（x-$\frac{1}{4}$），整理得：33x+16y-16=0，
綜上可知：切線方程為：2x+y-1=0或33x+16y-16=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，考查韋達(dá)定理，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程的求法，考查分類討論思想，屬于中檔題．