A. | (-∞,-1)∪(0,1) | B. | (0,1)∪(1,+∞) | C. | (-∞,-1)∪(-1,0) | D. | (-1,0)∪(1,+∞) |
分析 由已知當(dāng)x>0時總有xf′(x)+f(x)>0成立,可判斷函數(shù)g(x)為增函數(shù),由已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),可證明g(x)為(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),根據(jù)函數(shù)g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性和奇偶性,而不等式f(x)>0等價于xg(x)>0,分類討論即可求出
解答 解:設(shè)g(x)=xf(x),則g(x)的導(dǎo)數(shù)為:g′(x)=f(x)+xf′(x)
∵當(dāng)x>0時,xf′(x)+f(x)>0,
即當(dāng)x>0時,g′(x)恒大于0,
∴當(dāng)x>0時,函數(shù)g(x)為增函數(shù),
∵f(x)為奇函數(shù)
∴函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù)
又∵g(-1)=-1×f(-1)=0,
∵f(x)>0,
∴當(dāng)x>0時,g(x)>0,當(dāng)x<0時,g(x)<0,
∴當(dāng)x>0時,g(x)>0=g(1),當(dāng)x<0時,g(x)<0=g(-1),
∴x>1或-1<x<0
故使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-1,0)∪(1,+∞),
故選:D.
點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式,屬于綜合題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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