20.設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)y=f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時,xf′(x)+f(x)>0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( 。
A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(0,1)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-1,0)∪(1,+∞)

分析 由已知當(dāng)x>0時總有xf′(x)+f(x)>0成立,可判斷函數(shù)g(x)為增函數(shù),由已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),可證明g(x)為(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù),根據(jù)函數(shù)g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性和奇偶性,而不等式f(x)>0等價于xg(x)>0,分類討論即可求出

解答 解:設(shè)g(x)=xf(x),則g(x)的導(dǎo)數(shù)為:g′(x)=f(x)+xf′(x)
∵當(dāng)x>0時,xf′(x)+f(x)>0,
即當(dāng)x>0時,g′(x)恒大于0,
∴當(dāng)x>0時,函數(shù)g(x)為增函數(shù),
∵f(x)為奇函數(shù)
∴函數(shù)g(x)為定義域上的偶函數(shù)
又∵g(-1)=-1×f(-1)=0,
∵f(x)>0,
∴當(dāng)x>0時,g(x)>0,當(dāng)x<0時,g(x)<0,
∴當(dāng)x>0時,g(x)>0=g(1),當(dāng)x<0時,g(x)<0=g(-1),
∴x>1或-1<x<0
故使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-1,0)∪(1,+∞),
故選:D.

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式,屬于綜合題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求|z|;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,是$\frac{z}{m}$+$\frac{m}{z}$為實(shí)數(shù),若存在,求出m的值;若不存在,說明理由;
(3)若(1-2i)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上,求復(fù)數(shù)z.

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11.k>3是方程$\frac{x^2}{k-3}-\frac{y^2}{k+3}=1$表示雙曲線的( 。
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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
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15.若數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式分別是an=(-1)2017•a,bn=2+$\frac{{{{(-1)}^{n+2018}}}}{n}且{a_n}<{b_n}$對任意n∈N*恒成立,則常數(shù)a的取值范圍是[-2,1).

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(1)求ω的值;
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(3)若g(x)=f(x)-a,則g(x)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到?并寫出g(x)的對稱軸和對稱中心.

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12.已知函數(shù)f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1在[-1,3]上的最大值為M,最小值為m,則M+m=4.

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15.已知向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{e}$,|$\overrightarrow{e}$|=1,f(x)=|$\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{e}$|是定義在R上的函數(shù),
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16.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓;
(1)求圓錐的母線與底面所成的角;
(2)過底面中心O1且平行于母線AB的截平面,若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)(焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)為p的拋物線,求圓錐的全面積;
(3)過底面點(diǎn)C作垂直且于母線AB的截面,若截面與圓錐側(cè)面的交線是長軸為2a的橢圓,求橢圓的面積(橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的面積S=πab).

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