Question

9．等比數(shù)列{a_n}滿足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，{a}_{n-1}＜{n}^{2}}&{\;}\\{2{a}_{n-1}，{a}_{n-1}≥{n}^{2}}&{\;}\end{array}\right.$（n≥2），則a₁的取值范圍是{a₁|a₁≥$\frac{9}{2}$}．

Answer 1

分析 對(duì)a₁分類討論，利用已知及其等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a₁的取值范圍．

解答 解：①當(dāng)${a}_{1}≤{2}^{2}=4$時(shí)，a₂=4．由于${a}_{2}＜{3}^{2}$，因此a₃=3²=9．
∵{a_n}為等比數(shù)列，∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，則4²=9a₁，解得a₁=$\frac{16}{9}$．
而a₄=4²=16，不滿足{a_n}為等比數(shù)列，舍去．
②當(dāng)a₁≥2²時(shí)，a₂=2a₁，∴a₂≥8．
當(dāng)8≤a₂＜9時(shí)，a₃=3²=9．
∵{a_n}為等比數(shù)列，∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₃，則4${{a}_{1}}^{2}$=9a₁，解得a₁=$\frac{9}{4}$，舍去．
當(dāng)a₂≥9時(shí)，a₃=2a₂．可得{a_n}為等比數(shù)列，公比為2．此時(shí)a₁≥$\frac{9}{2}$．
綜上可得：a₁的取值范圍是{a₁|a₁≥$\frac{9}{2}$}．
故答案為：{a₁|a₁≥$\frac{9}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．