Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前9項和為153，且點P（a_n，a_n+1）（n∈N₊）在直線x-y+3=0上
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）從數(shù)列{a_n}中，依次去除第2項、第8項、第24項…第n•2ⁿ項，按原來的順序組成一個新的數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n
（Ⅲ）求證：$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+$…+$\frac{1}{_{n}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （I）點P（a_n，a_n+1）（n∈N₊）在直線x-y+3=0上，可得a_n+1-a_n=3．利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（II）b_n=3•n•2ⁿ+2，S_n=3（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ）+2n，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（III）b_n=3•n•2ⁿ+2，由于3•n•2ⁿ+2-4•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ+2（n≥1），可得$\frac{1}{_{n}}$≤$\frac{1}{4×{2}^{n}}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號．利用等比數(shù)列的求和公式即可的．

解答 （I）解：∵點P（a_n，a_n+1）（n∈N₊）在直線x-y+3=0上，∴a_n-a_n+1+3=0．即a_n+1-a_n=3．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為3．
∴9a₁+$\frac{9×8}{2}$×3=153，解得a₁=5．
∴a_n=5+3（n-1）=3n+2．
（II）解：b_n=3•n•2ⁿ+2，S_n=3（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ）+2n，
設(shè)T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+6+2n．
（III）證明：b_n=3•n•2ⁿ+2，
3•n•2ⁿ+2-4•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ+2（n≥1），
∴$\frac{1}{_{n}}$≤$\frac{1}{4×{2}^{n}}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號．
∴$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+$…+$\frac{1}{_{n}}$≤$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{4}-\frac{1}{4×{2}^{n}}$＜$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{1}{_{1}}+\frac{1}{_{2}}+$…+$\frac{1}{_{n}}$＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、放縮方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．